Resultados electorales y valor de Shapley

Siempre que hay elecciones recuerdo que entre mis cursos de doctorado se encontraba uno dedicado a la teoría de juegos. Y lo recuerdo porque, en aquél entonces, había elaborado un trabajo analizando el reparto de poder de cada grupo político como consecuencia del resultado de las elecciones generales de 1996. Trabajo del cual me sentí muy orgulloso en aquél momento porque para poder efectuar el análisis me vi obligado a echar mano de mis conocimientos de programación en Basic (sí, sí, Basic a secas, sin “Visual” delante) y elaborar un programa que calculase todas las combinaciones de voto posibles y su índice de poder suponiendo, como se suele hacer en estos casos, que todos los diputados acuden a las votaciones y que hay disciplina de voto.

Lo interesante de aquél trabajo fue ver cómo la representación de un partido podía implicar una cuota de poder (medida por el valor de Shapley) muy incrementada siempre que tuviese mayoría absoluta o detentase la “llave de la gobernabilidad” (y viceversa: una representación puede conllevar una cuota de poder muy baja si no es una mayoría absoluta ni actúa como “bisagra”). Los recientes resultados electorales en el ayuntamiento de A Coruña, que dispone de 27 concejales, de los cuales 14 fueron para el PP, ofrecen poco interés ya que el 100% del poder corresponde a dicho partido por haber obtenido mayoría absoluta. Si todos los concejales acuden a los plenos y votan en régimen de disciplina de partido, el PP ganará todas las votaciones, mientras que el PSOE, el BNG o EU-V no ganarán ninguna (su poder, por tanto, se ve reducido al 0%).

Para calcular el valor de Shapley hay que analizar lo que aporta cada participante a todas y cada una de las posibles coaliciones en que participe. De lo que se trata es de promediar las aportaciones marginales de cada jugador a cada una de esas coaliciones. En el caso de resultados electorales, la aportación marginal de un partido a una coalición valdrá 1 si la coalición no tenía mayoría absoluta y pasa a tenerla cuando se incorporan a ella los concejales del partido en cuestión; y valdrá 0 en cualquier otro caso (cuando la coalición ya tenía mayoría absoluta antes de que se incorporasen a ella los concejales del partido que estemos analizando o bien cuando la coalición sigue sin alcanzar la mayoría absoluta después de que dichos concejales se incorporen)1. Veamos cómo funciona con un ejemplo; como hemos dicho, en el ayuntamiento de A Coruña el análisis es trivial porque cualquier coalición que no cuente con el PP (incluida la coalición vacía) y pase a contar con él, superará la barrera de la mayoría absoluta, mientras que la incorporación del PSOE, del BNG o de EU-V a cualquier coalición previa no hará variar en ningún caso el poder que detentase esa coalición si en ella no estaba el PP (en un juego cooperativo, estos jugadores -que no son capaces de hacer variar el resultado del juego- se denominan dummies). Busquemos, pues, en la comarca algún resultado que permita explicar qué hay detrás del valor de Shapley.

Los municipios de la comarca de A Coruña son A Coruña, Abegondo, Arteixo, Bergondo, Cambre, Carral, Culleredo, Oleiros y Sada. En los tres primeros hay mayoría absoluta, pero Bergondo arroja unos números que pueden servir a nuestro propósito (ver detalle de resultados): cinco concejales para el PP, cuatro para el PSOE, dos para el BNG y otros dos para VB. La mayoría absoluta se sitúa en siete concejales.

Para calcular el valor de Shapley de cada partido político en este ayuntamiento tenemos que analizar las diferentes permutaciones que existen entre ellos. Hay un total de 4! = 24 permutaciones. El siguiente diagrama muestra cómo van llegando los partidos y cómo se va acumulando el número de concejales (el sombreado indica el momento en que se alcanza la mayoría absoluta para cada permutación):

Shapley

Ahora ya tenemos todo lo necesario para calcular el valor de Shapley de cada partido del ayuntamiento de Bergondo. Por ejemplo, el PP llega primero en seis permutaciones de 24 y tiene que esperar para alcanzar la mayoría absoluta. Llega segundo en otras seis ocasiones y en todas consigue que el número de concejales acumulado obtenga la mayoría absoluta gracias a su llegada. De tercero llega en otras seis ocasiones con el mismo efecto (ninguna coalición de dos partidos sin el PP tiene mayoría absoluta y todas las coaliciones de tres partidos con el PP tienen mayoría absoluta). Por último, de cuarto llega en otras seis permutaciones de 24 pero ahora todas esas permutaciones parten de una situación de mayoría absoluta, por lo que su contribución marginal es nula. ¿Cuál es la media de aportaciones marginales del PP? VSPP = 0·(6/24) + 1·(6/24) + 1·(6/24) + 0·(6/24) = 0,5.

Por su parte, el PSOE llega de primero también en seis de las 24 permutaciones, sin conseguir mayoría absoluta en ninguna de ellas; llega de segundo a otras seis haciendo que la coalición pase a tener mayoría absoluta en dos de ellas (cuando el PP está de primero) y no consiguiendo que la coalición pase a tener mayoría absoluta cuando el primero en llegar había sido el BNG o VB. De tercero llega a seis coaliciones, logrando que las mismas obtengan mayoría absoluta en dos de ellas. Y de cuarto llega en otras seis ocasiones y en todas había una mayoría absoluta preexistente, por lo que su aportación es nula en estos casos. Su valor de Shapley será: VSPSOE = 0·(6/24) + [1·(2/24) + 0·(4/24)] + [1·(2/24) + 0·(4/24)] + 0·(6/24) = 16,6667.

Y, si calculamos de igual manera el valor de Shapley para el BNG o para VB (ambos tienen igual número de concejales y, por tanto, su contribución ha de ser indistinta), obtendremos que su valor de Shapley es exactamente el mismo que el del PSOE. Esto se debe a que, si comprobamos el diagrama anterior, el BNG o VB hacen cambiar el signo de la coalición a la que llegan exactamente de igual forma que el PSOE (nunca si llegan de primeros, dos veces si llegan de segundos, dos veces si llegan de terceros y nunca cuando llegan de cuartos), por lo que, lógicamente, su cuota de poder en el ayuntamiento ha de ser la misma. Otra cosa es que entre ellos lleguen a acuerdos de gobierno que les permitan competir en igualdad de condiciones que el PP (por eso el valor de Shapley del PP es igual a los de PSOE, BNG y VB sumados).

Para finalizar, no creo que sea necesario aclarar que el valor de Shapley se puede usar en ámbitos diferentes al de la matemática electoral pero, por si acaso, diré que, en general, el valor de Shapley y, sobre todo, su proceso de elaboración, será útil en cualquier problema de reparto (tanto de poder como de beneficios, de dinero, de herencias…) si es posible conocer de antemano, aunque sea en base a probabilidades, el resultado cuantitativo de cada una de las n! permutaciones que se dan entre los n participantes. Pensemos, por ejemplo, en cómo repartir las participaciones de una UTE entre las entidades que la conforman, en cómo definir el valor de una mayoría ponderada o en cómo cuantificar el derecho a veto en un organismo o comité.


1 Cuando la función característica, es decir, el resultado obtenido por cada coalición, sólo puede tomar, como en este caso, los valores 0 ó 1, el valor de Shapley suele denominarse índice de Shapley-Shubik.

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