Diversificad, diversificad, malditos

En muchas ocasiones habréis oido a alguien (a un profesor, a un conferenciante, a un experto financiero…) alabar las bondades de una cartera diversificada.  En muchos libros de Finanzas también podéis leer afirmaciones en la misma dirección.  No esperéis que las contradiga; nada más lejos de mi intención.  Lo que sucede es que creo que se toma la diversificación casi como un dogma de fe y no se conceden muchas oportunidades para llegar a ese mantra de una manera más razonada.  Y, creedme, es sencillo.

Creo que es lícito suponer que alguien que esté iniciándose en la teoría de carteras tiene un mínimo de conocimientos estadísticos.  Por si acaso, dejadme decir que lo único que necesitamos es recordar que si una variable aleatoria C es combinación lineal de otras n variables aleatorias (x1, x2, …, xn), su desviación típica, σC, vendrá dada por la siguiente expresión:

\sigma_C=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}w_i^2\sigma_i^2+\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1,\;j\neq i}^{n}w_iw_j\sigma_{ij})}

En donde wi es cada uno de los coeficientes de la combinación lineal y σi se corresponde con la desviación típica de cada una de las variables aleatorias linealmente combinadas.

Para ver cómo funciona la diversificación supongamos:

  1. Que cada una de nuestras variables aleatorias es la rentabilidad de cada uno de los activos financieros de nuestra cartera de inversión.
  2. Que nuestra cartera de inversión contiene la misma cantidad de cada uno de los activos financieros que la componen; es decir:
  3. w_i=\bar w = \frac{1}{n} \; \forall i

  4. Que todos los activos financieros de nuestra cartera presentan el mismo riesgo; en otras palabras:
  5. \sigma_i = \bar \sigma \; \forall i

    Para el ejemplo, supondremos que el riesgo de cada activo en nuestra cartera,medido por la desviación típica de su rendimiento, es de un 25% para el período considerado.

  6. A su vez, supondremos que el coeficiente de correlación entre los activos de nuestra cartera considerados de dos en dos es también constante:
  7. \rho_{ij} = \bar \rho \; \forall i, j, i \neq j

    En el ejemplo, calcularemos el riesgo de la cartera para un coeficiente de correlación de 0 (no hay correlación entre activos de nuestra cartera), para un coeficiente de correlación de 0,5 y para un coeficiente de correlación de 1 (todos los activos de la cartera están fuertemente correlacionados).  Recordemos que el coeficiente de correlación es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de las variables aleatorias consideradas:

    \rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i\sigma_j}

 Teniendo en cuenta las anteriores hipótesis, la expresión indicada para la desviación típica de la cartera se transforma en:

\sigma_C=\bar\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+(1-\frac{1}{n})\bar\rho}

La siguiente tabla resume los resultados obtenidos:

Nº de activos
en la cartera
Correlación nula Correlación 0,5 Correlación fuerte
1 25,00% 25,00% 25,00%
2 17,68% 21,65% 25,00%
3 14,43% 20,41% 25,00%
4 12,50% 19,76% 25,00%
5 11,18% 19,36% 25,00%
10 7,91% 18,54% 25,00%
100 2,50% 17,77% 25,00%
1.000 0,79% 17,69% 25,00%

Resultados que también pueden ser interpretados a la vista del siguiente gráfico:

Diversificación

Tanto en la anterior tabla como en el gráfico vemos que, en ausencia de correlación entre los títulos de nuestra cartera, somos capaces de reducir mucho el riesgo de la misma simplemente añadiendo un título más (el título 150 hace que el riesgo de la cartera se sitúe en el 2,04% y habíamos partido de un 25%).  Cuando la correlación es media, vemos que, al igual que para el caso anterior, los primeros títulos hacen que el riesgo de la cartera vaya descenciendo a una gran velocidad pero después de añadir 1.000 títulos, el riesgo aún está en el 17,69% (y nada apunta a que vaya a verse reducido mucho más por muchos títulos que añadamos).  Dicho riesgo no se ve alterado en absoluto cuando los títulos que añadimos a nuestra cartera están fuertemente correlacionados, lo cual es lógico si pensamos que una correlación entre los títulos de nuestra cartera cuyo coeficiente sea 1 indica que las variaciones en su rendimiento se producirán todas en la misma dirección, no pudiendo por tanto compensarse unas con otras y manteniendo el riesgo de la cartera en su nivel original.  Diríamos, en este caso, que es como si todos los títulos que añadimos a nuestra cartera fueran siempre el mismo.

En definitiva, que es una pena que en los mercados financieros la correlación esté más cerca de uno que de cero, ¿no?