Cómo medir la volatilidad (IV)

Agente preocupado por la evolución del mercadoHoy hablaremos de las medias móviles ponderadas exponenciales, también conocidas por sus siglas en inglés EWMA (Exponential Weighted Moving Average), como método de estimación de la volatilidad.

Como vimos en la anterior entrada de esta serie, las medias móviles ponderadas (WMA) suponían una importante mejora con respecto a las medias móviles simples (MA) puesto que permitían asignar un mayor peso o ponderación a las observaciones más recientes con respecto a aquéllas más antiguas.

Pero esa ponderación era asignada de forma proporcional según el tiempo.  Podríamos querer mantener el control del peso asignado a cada observación y elegir cualquier otra función de asignación de las ponderaciones o, incluso, definir la relación entre el tiempo y la ponderación de forma manual.  La única restricción que tenemos es que la suma de los coeficientes de ponderación tiene que ser igual a uno — lo cual es ciertamente fácil de conseguir.  En cualquiera de estos casos aún estaríamos dentro de lo que conocemos como medias móviles ponderadas.

Como mejora al método de WMA se propusieron en su momento las medias móviles ponderadas exponenciales o EWMA.  Este método busca suavizar el impacto de las grandes oscilaciones en la volatilidad observadas en el mercado (lo que técnicamente se conoce como outliers) y que, como vimos al hablar de las medias móviles, pueden afectar bastante a los cálculos en tanto en cuanto se tengan en cuenta para los mismos.

El método EWMA asume que las mejor predicción de la volatilidad para el período t es una media ponderada entre la observación del período anterior y la predicción de la volatilidad para ese mismo período anterior.  Nótese que en esta entrada estamos asimilando volatilidad con varianza y no con desviación típica, tal y como hacíamos anteriormente; lo hacemos únicamente a efectos explicativos.  Asumiendo que la volatilidad de un activo o cartera puede ser medida con el cuadrado de su rendimiento (de nuevo hemos de referirnos al anterior post de esta serie) y llamando λ (cuyo valor debe situarse entre 0 y 1) al peso asignado a la anterior estimación de la volatilidad, tenemos que:

\sigma_t^2 = \lambda\sigma_{t-1}^2+\left({1-\lambda}\right)r_{t-1}^2

Fijémonos en que esta expresión es recursiva.  Sustituyendo los sucesivos valores de los cuadrados de la volatilidad estimada:

\sigma_t^2=\lambda\left({\lambda\sigma_{t-2}^2+\left({1-\lambda}\right)r_{t-2}^2}\right)+\left({1-\lambda}\right)r_{t-1}^2\\=\left({1-\lambda}\right)\left({r_{t-1}^2+\lambda r_{t-2}^2}\right)+\lambda^2\sigma_{t-2}^2\\=\left({1-\lambda}\right)\left({r_{t-1}^2+\lambda r_{t-2}^2}\right)+\lambda^2\left({\lambda\sigma_{t-3}^2+\left({1-\lambda}\right)r_{t-3}^2}\right)\\=\left({1-\lambda}\right)\left({r_{t-1}^2+\lambda r_{t-2}^2+\lambda^2r_{t-3}^2}\right)+\lambda^3\sigma_{t-3}^2\\=\left({1-\lambda}\right)\sum_{n=1}^m{\lambda^{n-1}r_{t-n}^2}

Cabe destacar que no hay problema en relajar la hipótesis de que la media de los rendimientos es cero.  Nuestra expresión anterior quedaría, si suponemos que la media de los rendimientos es μ:

\left({1-\lambda}\right)\sum_{n=1}^m{\lambda^{n-1}\left({r_{t-n}-\mu}\right)^2}

Tenemos que darnos cuenta de que la ventaja más importante del método EWMA reside precisamente en su recursividad.  Gracias a la misma, la estimación de la volatilidad para el período t reúne toda la información histórica de la volatilidad.  En efecto, en las expresiones anteriores vemos que la predicción de la volatilidad (de su cuadrado) para el momento t es una función del parámetro λ y de la volatilidad observada en el pasado medida mediante el cuadrado del rendimiento (o el cuadrado de la diferencia entre el rendimiento y su media si es que ésta es distinta de cero).

Por último, comentar que la empresa Riskmetrics —originalmente fundada por JP Morgan, fue comprada en 2010 por MSCI— propuso, en su momento, utilizar un factor λ de 0,94 para datos diarios y de 0,97 para datos mensuales.  Aunque, si nos lo podemos permitir, lo óptimo es recalcular su valor con cada nueva observación de la variable rendimieinto.

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